Тема: «Задача з математики» (ID:2820)

Завдання:

Показати, що перші три вектори утворюють базис тривимірного простору, і розкласти вектор за цим базисом
(при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера).

1. , ,,.

2. , ,,.

3. , ,,.

4. , ,,.

5. , ,,.

6. , ,,.

7. , ,,.

8. , ,,.

9. , ,,.

10. , ,,.

Три вектори утворюють базис тривимірного простору, якщо вони не лежать в одній площині.

Змішаний добуток трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеду, який вони утворюють. Тобто, якщо змішаний
добуток трьох векторів не дорівнює нулеві, тоді вони не лежать в одній площині і утворюють базис тривимірного
простору.

В свою чергу, змішаний добуток трьох векторів в декартовій системі координат дорівнює визначнику, складеному з
координат цих векторів.

Для переходу від однієї базисної трійки до іншої достатньо знайти добуток базисної матриці та вектора, де їх
координати (як вектора, так і базисних векторів) виражені через першу базисну трійку.

Виходячи з цього будемо мати:

1. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .

.

За формулами Крамера

, , , де , , - визначники, одержані заміною відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів на стовпчик вільних
членів.

=>

=> , , ,

таким чином вектор в базисі буде мати координати

(-6,33;14;-6).

2. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .

.

За формулами Крамера

, , , де , , - визначники, одержані заміною відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів на стовпчик вільних
членів.

=>

=> , , ,

таким чином вектор в базисі буде мати координати

(6;-2,33;-7,33).

3. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .

.

За формулами Крамера

, , , де , , - визначники, одержані заміною відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів на стовпчик вільних
членів.

=>

=> , , ,

таким чином вектор в базисі буде мати координати

(-2,24;3,02;-2,29).

4. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .

.

За формулами Крамера

, , , де , , - визначники, одержані заміною відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів на стовпчик вільних
членів.

=>

=> , , ,

таким чином вектор в базисі буде мати координати

(4;1,5;-6,5).

5. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .

.

За формулами Крамера

, , , де , , - визначники, одержані заміною відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів на стовпчик вільних
членів.

=>

=> , , ,

таким чином вектор в базисі буде мати координати

(2;21;-13).

6. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .

.

За формулами Крамера

, , , де , , - визначники, одержані заміною відповідного стовпчика матриці коефіцієнтів на стовпчик вільних
членів.

=>

=> , , ,

таким чином вектор в базисі буде мати координати

(6,94;-4,03;-1,38).

7. , ,,.

, тобто вектори , утворюють базис тривимірного простору.

Знайдемо координати вектора b в базисі .